Předpokládá se, že poznatky uvedené v [1] jsou aktuální a úplné. Pátráním v jiných zdrojích nebyly nalezeny žádné jiné, v [1] neuvedené způsoby řešení kubické rovnice (s výjimkou zvláštních případů), ale zde se zajímáme pouze o obecné řešení rovnice [1](15).

Důležité

Tvar [1](15) má veličinu q na pravé straně rovnosti. V tomto materiálu se dodržuje místní konvence s pravou stranou rovnou nule (29.). Z toho však plyne opačné znaménko hodnoty těchto jinak zcela analogických a stejně pojmenovaných veličin. Při porovnávání je nutné na tento rozdíl nezapomenout. V [1] mezi (40) a (41) je dokonce i zmínka o opačné definici znamení diskriminantu Cardanových vzorců, což celou situaci ještě dále komplikuje, neboť stejně pojmenované symbolické hodnoty jsou v [1] pravděpodobně na různých místech odlišné. Ještě jednou je nutno zdůraznit, že tento materiál pojednává o tvaru (1.).

Pokud není výslovně uvedeno jinak, všechny symbolické hodnoty jsou komplexní čísla.

Řešení

Pro algebraickou rovnici třetího stupně s jednou neznámou x, koeficienty p, q ve tvaru

(1.)

kde

(2.)

při definování veličin D, E, z, k vztahy

(3.)

(4.)

(5.)

(6.)

platí

(7.)

Poznámky

U vztahů (3.) a (4.) lze odmocniny volit libovolně. Kombinace odpovídají permutacím kořenů (1.).

Uvedené vztahy jsou v oboru (2.) použitelné obecně a platí pochopitelně i pro reálná p, q. Díky necitlivosti na volbu odmocnin je řešení plně analytické. Umožňuje tedy analytické řešení algebraických rovnic s jednou neznámou vyšších stupňů, které vedou na řešení kubické rovnice, např. Eulerova řešení rovnice čtvrtého stupně.

Řešený příklad

Je nutné upozornit, že zde není uváděno podrobné odvozování krok za krokem, ale jen důležité body.

Řešení konkrétního příkladu se zadáním

(8.)

znamená

(9.)

což vyhovuje oboru (2.). Dosazením (9.) do (3.) dostáváme

(10.)

takže

(11.)

Nezáleží na volbě. Například dosazením první možnosti (11.) do (4.) dostaneme

(12.)

po úpravě

(13.)

takže

(14.)

kde

(15.)

(16.)

(17.)

Nezáleží na volbě. Například dosazením (15.) do (5.) dostaneme

(18.)

Dosazením (18.) do (6.) dostaneme

(19.)

Dosazením (18.) a (19.) do (7.) dostaneme kořeny (1.)

(20.)

Dodatek

Výchozí rovnice

Mějme algebraickou rovnici třetího stupně s jednou neznámou x0 v normalizovaném tvaru

(21.)

Nechť platí (kořeny rovnice (21.))

(22.)

Musí tedy platit

(23.)

Roznásobením (23.) dostaneme

(24.)

Porovnáním koeficientů (21.) a (24.) dostaneme

(25.)

Převod do redukovaného tvaru

Substitucí

(26.)

převedeme (21.) na tvar

(27.)

zavedením identit

(28.)

dostaneme redukovaný tvar (21.)

(29.)

Konstrukce k,l

Máme tedy výchozí bod, shodný s (1.). Kořeny (29.) obecně

(30.)

S přihlédnutím k (26.) musí platit

(31.)

Analogicky k (23.) až (25.) pak z (29.) až (31.) plyne

(32.)

Úpravou prvního řádku (32.) získáme

(33.)

Dosazením (33.) do druhého a třetího řádku (32.) dostaneme

(34.)

Substitucemi

(35.)

převedeme (34.) na tvar

(36.)

tj. na popis kořenů pomocí dvou neznámých parametrů k, l (p,q jsou „vstupní“, známé koeficienty). Při této konstrukci se pokoušíme najít explicitní vztahy těchto parametrů v závislosti na koeficientech. Kořeny z nalezených parametrů získáme pomocí (35.) a

(37.)

což plyne z (33.)

Diskriminanty kubické rovnice

Nechť pro nějaké číslo Dx platí

(38.)

dosazením (36.) do (38.) dostaneme

(39.)

Vidíme, že je možné odstranit člen k⁶vhodnou volboum,n. Pro

(40.)

tj. pro

(41.)

dostaneme

(42.)

Odmocninou je tedy

(43.)

Čísla Dx ve tvaru (38.), splňující podmínku (40.), představují celou třídu diskriminantů kubické rovnice, které mají různé vlastnosti, závislé na zvoleném m. Jejich společnou vlastností je, že v případě dvojného kořene (29.) je takové číslo vždy nula. Důvodem je v takovém případě nulové l.

Diskriminant Cardanových vzorců

Např. v [1](49) je použito

(44.)

z čehož dle (41.) plyne

(45.)

Označme si tento konkrétní diskriminant Dc (Cardanův), jeho tvar (38.) je pak

(46.)

tvar (42.) pak

(47.)

a konečně tvar (43.)

(48.)

Cardanovo řešení

Principem tohoto řešení jsou vztahy

(49.)

Dosazením (36.) a (48.) dostáváme

(50.)

po této účelové úpravě

(51.)

je již zřejmé, že

(52.)

Explicitní vyjádření kořenů (29.) v Cardanových vzorcích je analogické [1] (43) až (45)

(53.)

dosazením (52.) dostaneme

(54.)

neboli

(55.)

což odpovídá substitucím (35.) a (37.)

Problém Cardanova řešení

Veličiny u a v ve vztazích (49.) jsou použity v (53.) již odmocněné. Protože obecně pro libovolné číslo existují tři třetí odmocniny, platí vztahy (53.) jen pro některé konkrétní kombinace u a v. Konkrétně musí platit

(56.)

Součástí řešení jsou tedy součty třetích odmocnin různých výrazů, které dávají správný výsledek jen v kombinaci, která vyhovuje podmínce (56.). Řešení je sice analytické, ale přesto jiné kvality, než například vztahy pro kořeny kvadratické rovnice. V těch se vyskytuje druhá odmocnina diskriminantu. Při dosazení konkrétních čísel je možné zvolit libovolnou ze dvou hodnot druhé odmocniny, při nezměněných vztazích dojde jen k prohození obou kořenů. V rámci tohoto materiálu je takové řešení označováno jako plně analytické. Lze jistě namítat, že jde jen o „slůvko“. Přesto by řešení necitlivé na volbu odmocnin bylo snad korektnější, ale rozhodně praktičtější. Pokud provádíte složitější symbolické analýzy, odmocniny svázané podmínkou (56.) se v horším případě snadno oddělí, „roztoulají“ po řešení, změní tvary, popřípadě jsou po úpravách vlastně skryty. Dále musíme při symbolické analýze u výrazů složených z kořenů různých kubických rovnic i neustále hlídat, které u je „spárováno“ s kterým v (oboje si představte jako již složitější výrazy než jen jednoduchý symbol), abychom u celkového analytického výsledku mohli poznamenat „návod“ pro případné získání numerického výsledku.

Další „nepříjemností“ tohoto řešení je výsledek obsahující transcendentní funkce pro případ tří reálných kořenů.

Částečně úspěšný pokus o zlepšení

Pokud byl někdo natolik trpělivý, že se „pročetl“ až k tomuto místu, měl by se ptát, proč vůbec zavádět zvláštní konstrukci s veličinami k a l, protože ta zatím způsobila jen zesložitění dříve uvedených vztahů. Odvození Cardanových vzorců v [1] se obejde bez takových konstrukcí, jednoduše i proto, že pro jejich odvození prostě nejsou potřeba. Konstrukce vznikla historicky při analýze Cardanových vzorců a v následujícím textu se teprve začne používat k něčemu užitečnému. Nejprve ale, bohužel, výklad dále zkomplikujeme zavedením další, nikoliv poslední, substituce

(57.)

tj.

(58.)

Použitím této substituce převedeme (36.) na tvar

(59.)

Nyní se můžeme pokusit o eliminaci k, protože je zřejmé, že pokud bychom měli vyjádření pro z², popřípadě pro z (dokonce bez ohledu na znaménko), tak k již ze vzahů (59.) snadno vyjádříme pomocí

(60.)

což je (6).

Veličinu k lze eliminovat takto

(61.)

po úpravě

(62.)

Výraz na levé straně nahradíme substitucí

(63.)

dostáváme

(64.)

takže vztah pro z je

(65.)

případně, protože nám pro řešení postačuje znát vztah pro z²

(66.)

kde

(67.)

Z nepřítomnosti lichých koeficientů v (65.) je zřejmé, že rovnice má 3 páry symetrických kořenů

(68.)

Vztah (65.) lze tedy rozdělit na dvě symetrické rovnice třetího stupně z nichž každá je opět částečně symetrická

(69.)

Nezáleží na tom, kterou možnost si pro další řešení vybereme, viz poznámka o irelevanci znaménka z před (60.). Jediné dosud nalezené specifické řešení tohoto zvláštního případu kubické rovnice je uvedeno v (1.) až (7.) a částečně splňuje záměr nalézt řešení (29.), které nemá výše uvedené problémy Cardanova řešení. Řešení bylo získáno analýzou Vietovy substituce použitím konstrukce k,l a z, viz [1](16).

Vlastnosti řešení

V (62.) jsme viděli, že veličina Dz je svou konstrukcí k-invariantní. Protože Dz je i jediným parametrem vztahů pro z (potažmo Z), jsou tyto stejným způsobem invariantní.

Veličina Dz

Označení této veličiny, které připomíná (38.) není zvolené náhodou. Veličina samotná sice nikoliv, ale hodnota

(70.)

vyskytující se v (69.) je případ diskriminantu kubické rovnice typu (38.), splňující podmínku (40.), kde

(71.)

čemuž přísluší

(72.)

Z výše uvedeného plyne, že - ač to matematicky sice není příliš korektní tvrzení - vlastně rozebíráme kubickou rovnici, jejímž jediným „volným“ parametrem je její vlastní diskriminant.

Označme si (70.) jako Ez

(73.)

s použitím (62.) můžeme tedy psát

(74.)

Veličina je v (69.) použita odmocněná, naštěstí je to možné analyticky

(75.)

Veličina z

Uvedeny jsou jen některé zajímavější vlastnosti.

Pro

(76.)

platí

(77.)

Zdůrazněme, že toto není omezující podmínka, je to vlastnost veličiny z

Pro (69.) platí

(78.)

Dále pro veličinu z platí, a vyplývá to z k-invariance, že alespoň jedno z_ije buď reálné nebo ryze imaginární číslo. Z toho též plyne, že alespoň jedno Z_i je vždy reálné číslo.

Dalším zajímavým poznatkem je i to, že i sama rovnice (69.) má svoje číslo z, označme jej třeba zz, které je s původním z svázáno pevným vztahem, který má jednoduchý cyklus. Číslo zzz je totiž opět z.

Geometrický význam z

Poslední poznámkou na toto téma budiž úvaha, že z více výše uvedených vztahů lze všechny podobné trojúhelníky, včetně trojúhelníků zdegenerovaných do tří bodů, ležících na jedné přímce, obecně tří bodů v rovině, kde nejvýše dva z nich splývají, popsat jednoznačně „charakteristickým“ číslem, jedním ze tří rovnocenných čísel z. V případě Z si můžeme pro tento účel dokonce vybrat i vždy alespoň jedno reálné číslo. Jak se asi, v tomto pohledu, například liší kladné a záporné trojúhelníky? Prozradíme jen, že „nulové“ (ale také „trojkové“) jsou rovnostranné a že „jedničkový“ neexistuje…

Směry pro řešitele

Na tomto místě jsou velmi stručně shrnuty oblasti, které se v současné době prozkoumávají. Proto je nutné brát následující odstavce jen jako úvahy a domněnky, mnohdy dosud neprokázané, ve stylu „pracuje se na tom“ …

Odstranění transcendentních funkcí

V rovnici (29.) bez znalosti hodnot p, q nelze rozhodnout, zda má či nemá nějaké reálné kořeny. Protože však alespoň jedno Z_i je vždy (tj. pro libovolná p,q) reálné číslo, je důvod domnívat se, že vztah (66.) by mohl mít obecné řešení, které se pro tři reálné kořeny (29.) obejde i při vyhodnocování bez trigonometrických funkcí. Důvodem by měla být skutečnost, že nyní existuje významný směr (úhel v goniometrickém zápisu Z_ia z_i) rovný celočíselnému násobku p respektive p/2.

Transformace p,q

Zmíněná k-invariance (je nutno si uvědomit, že v komplexním oboru jde o nezávislost na jak lineární transformaci kořenů (29.), tak i na jejich rotaci – otáčení kolem počátku roviny obrazů komplexních čísel), umožňuje manipulovat s koeficienty p,q bez ovlivnění hodnoty veličiny z, splníme-li podmínku

(79.)

kde P,Q jsou transformované výrazy, které můžeme v rámci řešení veličiny z dosazovat na všechna místa, kde se původně vyskytuje p,q. Je-li výhodné „nastavit si“ nějaké P, pak

(80.)

analogicky pro zvolené Q

(81.)

Protože možnosti využití těchto transformací jsou zatím málo prozkoumány (hlavně proto, že je těchto možností mnoho), není důvod zde uvádět žádný příklad.

Závěr

V řešení se nevyskytuje součet třetích odmocnin různých hodnot, svázaný výběrovou podmínkou typu (56.), čímž se liší od Cardanových vzorců.

Veličina z je zjevně silně invariantní místo řešení kubické rovnice obecně, nikoliv jen zde uvedeného řešení. Vztah (69.) a související stojí za další zkoumání.

Jakékoliv náměty a připomínky včetně kritiky kohokoliv, kdo zde nalezl nějakou myšlenku jsou velmi vítány.

Pokud jste zde nalezli příliš mnoho omylů, buďte prosím shovívaví.

Odkazy

[1] Sekce „Cubic Equation“ na MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/CubicEquation.html